從 Uniswap v3 到 crvUSD LLAMMA_SWAP

作者介紹：

0xmc@0xreviews:機制審計、產品設計、密碼經濟學獨立研究員。

0xjezex@0xreviews:代幣經濟學獨立研究員，初級Solidity工程師，倫敦帝國理工學院金融科技碩士生。

0xstan@0xreviews:獨立開發者，DappLearning核心貢獻者。

paco@perp.com:Solidity開發者、安全研究員、DeFi愛好者。

前言

Curve穩定幣最難的部分是LLAMMA。LLAMMA參考了Uniswapv3中的一些原則。但是，白皮書中的價格與Uniswapv3白皮書中的算法不同。我們將統一這兩個項目，并嘗試了解CurveCEO是如何設計這個演算法。

用Uniswapv3作為參考

本文中價格的定義與Uniswapv3互為倒數。因此，我們修改了Uniswapv3白皮書中的公式，讓它與本文保持一致。簡而言之，LLAMMA試圖讓Uniswapv3中的一切都變得動態，以便為crvUSD債務人和清算人提供更適當的價格。

恒定乘積公式(ConstantProductFomula)比較

Uniswapv3白皮書中的公式(2.2)：

阿萊恩斯西部銀行親自辟謠 稱其考慮向英國金融時報索賠:5月4日消息，在英國金融時報發布報道稱阿萊恩斯西部銀行將考慮出售自身業務后，該行親自辟謠，并表示其并未出現異常的存款外流情況。該行表示，金融時報的報道在各個方面都是絕對錯誤的。該行沒有考慮出售業務，也沒有聘請顧問來研究戰略選項。金融時報任由自己成為看空者的工具，以及傳播虛假報道，這是可恥和不負責任的。該行表示自己財務狀況良好、盈利能力仍然很強。作為回應，該行正在考慮包括向金融時報索賠在內所有的法律選擇。[2023/5/5 14:43:32]

圖一：Uniswapv3虛擬流動模擬

Curve穩定幣白皮書中的公式(1)：

圖二:有外部價格來源的AMM

在這裡Pcd代表Pcurrent_down,Pcu代表Pcurrent_up

而對應關係為：

NFT Gaming獲準在納斯達克上市，擬通過IPO籌集700萬美元資金:金色財經報道，數字游戲開發公司NFT Gaming宣布公司已獲準在納斯達克資本市場上市其普通股，其普通股交易代碼為NFTG，首次公開發行1,686,747股普通股，定價為每股普通股4.15美元，總收益約為700萬美元，交易預計于2023年2月15日開始，但需獲得納斯達克的最終批準。

本次發行預計將于2023年2月17日或前后完成，但須滿足慣例成交條件。[2023/2/15 12:07:56]

對應的恒定乘積公式為：

而在這之間：

流動性計算公式對應

Uniswapv3白皮書中的公式(6.7)：

ADP報告公布后 美聯儲2月加息25個基點的概率小幅上升:1月5日消息，ADP公布后，CME“美聯儲觀察”顯示，美聯儲2月加息25個基點至4.50%-4.75%區間的概率為65.1%，加息50個基點的概率為34.9%；到3月累計加息25個基點的概率為9.4%，累計加息50個基點的概率為60.8%，累計加息75個基點的概率為29.9%。[2023/1/5 10:23:56]

由于它們的價格定義之間存在倒數關係，對應的公式為：

此公式的一個具體應用是：

平方展開可以得到：

從上面的公式我們很容易的可以了解，當y0保持不變，Pcd和Pcu數值越接近，相對應的流動性I則越大。

換句話說：

FTX巴哈馬實體向紐約南區法院申請破產:11月16日消息，FTX 的巴哈馬實體 FTX Digital Markets Ltd. 已依據破產法第 15 章向紐約南區法院申請破產保護，破產法第 15 章旨在促進涉及跨越多個國家 / 地區的資產和實體的公司破產。申請文件上稱，債務人的資產和事務將受外國法院的控制或監督，以進行重組或清算。[2022/11/16 13:11:42]

流動性不可能是無限的,在UniswapV3中對應最小的tick會限制L的大小。

由此可以推斷在LLAMMA中，我們還需要定義一個指標來衡量價格之間的最小差異，來繼續Uniswapv3和Curve的類推。

對應最小差價

從A的定義中可以看出?,當p↓和p↑越接近時，A則越大，流動性集中度越高：

Uniswapv3中，只有能被tickSpacing整除的tick才能被預設。因此，tickSpacing決定了LP分配流動性的最低價格范圍。tickSpacing越小，價格范圍越窄、越精確。在Uniswapv3中，不同的費用等級決定了不同的tickSpacing。

阿聯酋銀行RAKBANK與Kraken達成合作，將實現以迪拉姆計價的虛擬資產交易:7月28日消息，阿聯酋銀行 RAKBANK 宣布與加密貨幣交易所 Kraken 達成合作關系，未來不久將允許阿聯酋用戶用其本地銀行賬戶以迪拉姆計價來交易虛擬資產。

RAKBANK 將使 Kraken 能夠讓其阿聯酋客戶通過阿聯酋任何銀行的本地資金轉賬為其加密賬戶充值。[2022/7/28 2:43:42]

然而，crvUSDLLAMMA不需要那麼多tickSpacing。由于LLAMMA僅有ETH-crvUSD,因此只需要讓每一個tickSpacing=100basepoint。?

來自Uniswapv3的公式(6.1)：

在LLAMMA中，A=100，來自Curve穩定幣白皮書的公式(11)：

設置n=-i,A=100,我們會得到：

設計Pcd和Pcu

我們希望LLAMMA具有以下屬性：當ETH價格上漲時，礦池購買ETH。當ETH下跌時，礦池出售ETH。在這樣的機制下，我們把Pcd和Pcu定義為Po的函數并且比線性函數更陡峭，因此它們的增長率會比Po更快。同時從圖中可以看出兩條曲線Pcu和Pcd分別通過兩點(P↓,P↓)和(P↑,P↑)。滿足以上要求的Pcd和Pcu其實有很多曲線。通用公式為：

當m<n

讓我們從最簡單的例子開始：

把Pcu和Pcd帶入I的平方展開：

然后f2可以計算為：

不難發現f2在這種假設下很難理解和計算。如果Pcu和Pcd是?Po的三次函數:

把Pcu和Pcd帶入I的平方展開：

重新計算f2：

可以看出，當?Pcu和Pcd是Po的三次函數，整個數學形式就簡單多了。去掉了平方根項，計算方便多了。如果接受更高的訂單，則AMM的價格和Po將相差很大，因此購買ETH的成本會更高，而導致更大的清算損失。總之，把Pcu和Pcd定義為Po的三次函數是一個更好的選擇。

其他參數的推導

Pcu和Pcd是關于Po的三次函數,取特別數值Po=P↑,不難得到Y=Y0和X=0，于是：

鑒于I的公式，我們可以計算f和g：

在這邊，我們最終得到完整的恒定乘積公式：

將上方公式轉化為Y0二次方程式：

用一個未知數的二次方程求解Y0：

如果價格變動的夠慢讓預言機價格Po完全有能力遵循它，給定X和Y，使用Uniswapv3的計算公式，是有可能計算出ETH的Y↑是多少或美元的X↓最終將處于的區間內：

參考出處：Adams,Hayden,etal."Uniswapv3core."Tech.rep.,Uniswap,Tech.Rep,2021fromhttps://uniswap.org/whitepaper-v3.pdfEgorov,Michael,andCurveFinance.Curvestablecoindesign.Technicalreport,CurveFinance,Tech.Rep,2022fromhttps://github.com/curvefi/curve-stablecoin/blob/master/doc/curve-stablecoin.pdf

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