時間序列該如何權衡平穩性和記憶力？_ADF

許多預測模型都要求時間序列具有一定的一致性，即“平穩性”。平常的轉換，即整數階差分(譬如，在金融學中表現為建模收益而不是絕對價格)，消除了數據中的記憶，從而影響了建模的預測能力。

本文概述了分數微積分如何保留更多的信息，以及如何更好地在平穩性和有意義的記憶之間做出權衡。

一般而言，我們會把一個給定的時間序列理解為一個隨機過程產生的樣本，并試圖推斷出其分布及統計數據以建立一個預測模型。

建立隨機過程的預測模型是為了平衡樣本的特殊性和一般性：該模型根據一般模式的背景對給定的序列做出解釋。

韓國對加密數字貨幣征稅可能會推遲三個月時間執行:韓國國會企劃財政委員會指出，有必要考慮將對虛擬貨幣征稅的起始日期從2021年10月至少延后三個月，至2022年1月1日。對此，企劃財政委員會下屬稅收小組委員會最快會在下周確定具體的納稅起征日期。延后納稅起征日期的原因是由于韓國加密貨幣交易所稱沒有足夠的時間來構建稅收基礎設施。

此前報道，今年7月份，韓國發布的擬議2020年稅法修正案表示，韓國政府將通過虛擬貨幣等虛擬資產獲得的收入納入其他收入，并將從2021年10月份開始對每年超過250萬韓元的數字貨幣收入征收20%的資本利得稅，需繳納虛擬資產資本利得稅的人需要在每年5月進行申報。(韓國東亞日報)[2020/11/25 22:01:27]

比一般預測回歸更具體的是，由于時間結構的原因，時間序列一般具有其固有順序。任何給定的實例都反映了其發展變化情況，即過去跟蹤記錄的特定記憶。

灰度創始人：在任何時間范圍內，BTC的表現都優于黃金:此前報道稱，黃金支持者、比特幣反對人士Peter Schiff發推表示，灰度將投放廣告誘使投資者購買BTC，并稱一旦投資BTC，將錯過黃金收益。對此，灰度及區塊鏈風險投資公司DCG創始人Barry Silbert回應稱，“灰度的電視廣告始于2019年5月1日，當時比特幣價格為5300美元。坦白地說，看看BTC和黃金在任何時間范圍內的表現，在所有情況下，BTC都優于黃金。順便一提，感謝灰度加密基金家族的持續免費廣告。”[2020/8/10]

平穩性

為了確定生成過程的一般模式并映射給定的排列，在實際建模之前我們通常將此特定序列的記憶作為預處理步驟的一部分予以刪除。

聲音 | 李啟威：PoS的可行性需要時間去證明:萊特幣創始人李啟威在活動中談及最近火熱的Staking經濟和PoS時表示，PoS并未證明其可行性，不懂我們為什么要倒退。還需要時間去看未來能發生什么。門羅幣核心開發成員Riccardo繆永權認為，PoS過于復雜且不安全，無法弄清楚其能否行得通。加密貨幣分析師Riccardo表示，從研究角度來看，我對所有共識機制都很感興趣，但至少10年讓我改變對其他機制的想法。Whale Panda認為，POW才是唯一可以運作的機制。[2019/4/25]

在機器學習領域的監督學習中，該序列可以發現一般性結構并對給定的實例與標記訓練集中更多的樣本進行匹配。

在數學領域,過程的統計特性不會因時間順序的改變而變化，這意味著系列不會隨時間推移而呈現出一種趨勢。該概念被稱為平穩性。

動態 | 美國區塊鏈公司Engima將推遲主網發布時間:據Coindesk消息，美國區塊鏈公司Engima計劃推遲主網發布時間，以此對其發展線路做出修改。該公司此前曾計劃在第三季度末之前，將協議部署在“live ethereum”網絡或“mainnet”上。今年夏天，該協議在ethereum“testnet”上發布。[2018/9/21]

檢查時間序列平穩性的方法有很多種:

觀察線形圖，尋找一段時間內的明顯的趨勢。比較數列中各種分割的基本匯總統計數據。觀察自相關圖：曲線下降越快，滯后越明顯，序列的非平穩性階數越小。最常見的平穩性統計檢驗是單位根的ADF檢驗。

單位根是指初始條件或外部沖擊不會隨著時間的推移而消散，而是通過該序列傳播，并通知所有后續值。該含義從直觀上正式地解決了在單位圓上的過程特征方程。

截至北京時間凌晨零點15分，區塊鏈概念中概股漲跌幅居前個股:領漲：獵豹移動漲3.02%領跌：中網載線跌3.02%，蘭亭集勢跌1.82%，人人網跌0.7%，拍拍貸跌0.14%。[2018/3/2]

對于給定的置信水平，ADF測試零假設“序列中存在單位根”以及序列穩定性的替代。它直接證明了，單位根的存在確實意味著該序列的不穩定。

分數階微積分

事實上，在17世紀牛頓和萊布尼茨發明微積分后不久，數學家們就對分數階導數的使用進行了探索，將微分或積分的順序從自然數擴展到實數。然而，其應采納赫斯特和曼德爾布羅特在20世紀的成果，為分數微積分找到初期的自然應用，并使其與霍斯金和格蘭杰于20世紀80年代創建的Arfima模型一同進入金融領域。

大約在1730年，歐拉就該歸納給出有史以來第一個啟發式，通過函數將二項式系數推廣到實數階。后來，在黎曼和劉維爾的積分理論中，重復微分的柯西公式使之變得更加嚴謹。

這里，我們僅僅給出了時間序列差分應用程序的形式啟發式：

B表示滯后操作符，即對于t>1,BX_t=X_{t-1}和某個時間序列X={X_1，...}。一階元素階差分可以用恒等算子I表示，如下：

金融時間序列建模的應用

在金融領域，時間序列起主導作用。為了更好地理解分數階差分的特征，我們將其應用于一些典型的金融時間序列。

利用以下代碼，將差分算子的上述形式序列的展開式應用到指定實階d和固定窗口大小的時間序列上，得到變換后的序列，然后只需將一個pandas時間序列輸入參數階和lag_cutoff的ts_difference函數中即可。

2016-2018年比特幣的價格(紅色，右軸)，以及部分衍生品(藍色陰影)

正如你可能已注意到的，比特幣的價格在2017年和2018年經歷了一次明顯的炒作。實際上，看看一階差分，我們發現價格在某些日期上漲了2500美元以上。上圖展示了一些分數階差分的平滑函數插值。這似乎很奇怪，在如此強勁的趨勢下，約0.4的弱差分實際上竟足以使該序列呈平穩型：給定樣本的ADF統計量為-5，其已低于DFt-分布的臨界值-2.86,因此在置信度為95%下，該序列可以假定是平穩的。的確，隨著財富的來回變動，它很快就變得吝嗇起來。

低階差分足以滿足平穩性的結論與其他許多金融時間序列相似。

為了說明平穩性和記憶之間的權衡，我們可以進行適當的可視化，并將ADF測試統計數據以及與原始序列的相關性繪制成具有不同階差變換的序列。。

對于商品期貨、匯率、指數等各種典型的金融序列，這種對比清晰地表明了差階滿足金融建模的平穩性條件，同時保留了特定的記憶結構，從而保持了原始序列的統計動態。

ADF檢驗統計量(左軸，紅色曲線)和線性相關(右軸，矢狀花藍色曲線)與原序列進行各種分數階差分，應用于各種金融時間序列。石板灰中的常數線表示ADF檢驗的顯著性水平為95%。

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