密碼專欄 | 動手計算雙線性對（下）_OLO

前言

上一篇文章中，我們在"F_101"上找到了17個點滿足橢圓曲線方程，他們構成一個循環。那么在"F_101"中元素作為坐標的點中還有沒有其他的點也滿足方程呢？換句話說，上篇文章列出的17個點是不是就是滿足方程的全部的解呢？并非如此，比如可以驗證(3,38)也滿足橢圓曲線的方程，但是他不是上面17個點中的一個。另一個子群

實際上，我們甚至可以通過將(6,44)作為生成元來得到一個102個元素的循環群，這個循環群涵蓋了曲線在"F_101"上的全部點。但是，曲線在"F_101"上的循環周期為17的循環群卻只有中篇列出的一個，也就是說在"F_101"上討論的話，循環周期為17的點已經被我們全部找到了。

在中篇中，我們也提到數域的擴張會直接影響我們需要討論的點的多少，那么如果我們對"F_101"進行擴張，是否能夠得到更多的循環周期為17的點呢？METASTATE的博客中給出這樣一個例子，我們將用這個例子說明這個命題的真假。首先我們選擇滿足j^2mod17=15的j用于對"F_101"的擴張，過程就像我們上一篇文章中進行的那樣，擴張后的域記為“F_101的二次擴域”。在這個擴張下，我們可以找到另一個循環周期為17的群，下面的表格列出這個群的全部元素：

zkSync：賬戶被盜用系Twitter未遵循標準程序，批準冒充者更改密碼的請求:4月16日消息，zkSync發布關于Twitter賬戶被盜用的詳細報告，表示“冒充者偽造了身份，并在聯系Twitter支持時聲稱自己是zkSync的官方代表，不幸的是，Twitter的技術支持人員沒有遵循標準程序，并批準了冒充者更改電子郵件和密碼的請求。”

由于zkSync啟用了2FA，攻擊者無法訪問帳戶，但由于密碼已更改，團隊已注銷并無法訪問，Twitter隨后保護該帳戶并密切合作以解決問題。此外Twitter加快了對金色已驗證徽章的申請，現在所有官方附屬帳戶的名稱旁邊都有一個小點的zkSync符號。[2023/4/16 14:06:13]

Coinbase推出開源密碼庫Kryptology:據官方消息，Coinbase宣布推出開源密碼庫Kryptology，旨在幫助開發人員能夠使用最先進的加密技術進行創新。Coinbase表示，加密行業是建立在密碼創新之上，Coinbase的目標是希望通過開源，讓Kryptology成為強大、可用的加密庫標準，為開發人員提供一個安全、經過審計且易于使用的API工具箱，繼而推動加密生態系統有更多構建和發展。[2021/12/7 12:56:38]

我們隨機選擇(66,0+23j)這個元素來驗證其滿足曲線方程：

左側：y^2mod101=^2mod101=23×15mod101=42

右側：x^3+3mod101=41^3=3mod101=42

左側等于右側，驗證完畢。

在發現通過域擴張后還能找到更多的17階點后，我們不禁會想：

公告 | Poloniex：并未出現數據泄漏，要求客戶重置密碼系出于保險考慮:1月3日，Poloniex發布官方聲明，更新了有關“數據泄漏”事件的最新進展。Poloniex聲稱：“本周早些時候，我們向一小群客戶（約占我們總客戶的1%）發送了電子郵件，要求他們重置密碼，以回應一條聲稱包含‘Poloniex泄露的電子郵件地址和密碼’的推文。確認一下，沒有來自Poloniex的信息或數據泄露，我們的行動只是對外部威脅的快速反應。我們的首要任務是確保客戶的賬戶安全。因此，我們重置了潛在受影響客戶的密碼。現在我們可以確認，無論是這份名單，還是其中包含的信息，都不是來自Poloniex。”此外，在聲明中，Poloniex還表示該推文的信息列表中，只有不到5%的郵件地址與Poloniex帳戶有關。[2020/1/3]

繼續對”F_101的二次擴域”進行擴張，能否找到更多的17階點呢？

動態 | 廣東省商用密碼協會正式成立:12月23日，廣東省商用密碼協會成立大會暨第一次會員大會在廣州科學城會議中心召開。協會將推動構建以密碼技術為核心、多種技術交叉融合的網絡空間新安全體制，促進商用密碼“產學研用測管行”各方面的交流合作，激發創新活力，引領創新發展，實現優勢互補、合作共贏。（大洋網）[2019/12/25]

或者是：為了找到全部的17階點，我們需要對F_101進行幾次擴張呢？

嵌入度其實就是描述這個問題的一個概念。E是定義在F_101上的橢圓曲線，我們已經有一個包含n=17個點的子群，我們稱這個子群的嵌入度是滿足17整除q^k-1的最小的k。在這個例子中，k=2。計算嵌入度的價值在于事實證明，當對F_101進行擴張以期其上的橢圓曲線包含全部17階點時，最小的擴張次數就等于嵌入度。也就是說在”F_101的二次擴域”上，我們已經找到全部的17階元素。

聲音 | 王小云：密碼技術將深度融合5G、區塊鏈等技術，為物聯網安全保駕護航:2019物聯網密碼應用專題峰會在無錫召開。密碼學家、中國科學院院士王小云在會上表示，物聯網絡設施，是經濟社會運行的神經中樞，也是可能遭到重點攻擊的目標，而密碼是保障物聯網網絡安全的核心技術和基礎支撐。密碼學是集數學、信息科學、計算機科學和物理學等于一體的深度交叉與融合的學科。密碼技術將深度融合5G、區塊鏈、人工智能、衛星通信等技術，為物聯網安全保駕護航。（經濟參考報）[2019/9/12]

Millier循環

下面給出計算雙線性映射的Millier算法，當計算e(P,Q)時，該算法根據P的坐標創建一個二元多項式，然后將P坐標的x和y分量帶入求值：

METASTATE的博客中作者已經計算了e((1,2),(90,82u))點的結果為97+89j。我們給出另外一個計算的例子，并且稍后通過對比這兩個例子的結果說明雙線性對的一些屬性。

其中f_17是二元的多項式，通過一個稱為Millier循環的過程我們可以生成該多項式，這個過程類似于計算指數運算時的mul-and-square操作。但是為了更直觀的展示原理，我們選擇根據上文定義直接展開計算f_17，這會增加一些計算量。

因此我們需要計算

的表達式。通過查詢上一篇文章的列表我們可以找出P，±2P，±4P，±8P,±16P的值,其中P=(12，32)=5G：

接下來我們來計算這些直線的方程：

這樣我們已經可以計算f_17的結果：

最后我們計算(81+52j)^600

完全解決curve101配對問題

實際上，我們可以計算出GT的生成元e(G1,G2)，也就是e((1,2),(36,31j))，其值為7+28j。這樣我們能夠完全掌握GT中全部的元素：

可以看到GT也是一個循環群，他其實是在“F_101的二次擴域”上滿足方程x^17=1的17個根。根據該表我們不加以計算就可以知道這個配對的任何一個計算結果，例如e((12,32),(36,31u))=e(5G1,G2),因此其值就是上表的第5個元素：93+25j。我們之所以能夠完全解決curve101的配對問題，是因為curve101的一系列參數決定其足夠簡單，而實際零知識證明算法中使用的配對就要復雜很多。例如一些標準中要求其配對曲線的嵌入度至少為12，這意味著GT的元素至少是基礎素域的12次擴張！如果其素域特征為常見的256位，那么為了表示一個GT元素就需要256*12/8=384字節的大小。對于任何一個實際使用的曲線，其計算復雜度和規模都使我們當前絕無可能計算出其映射表，這也是離散對數問題困難的所在。

通過系列文章，我們計算了一個簡單的配對曲線，加深了對雙線性映射的理解。后續，我們繼續使用這個配對曲線來講解和演示零知識證明中Groth16算法的過程和原理，敬請期待。

喬沛楊趣鏈科技基礎平臺區塊鏈底層密碼學小組

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