科普之密碼專欄 | 動手計算雙線性對（中）_區塊鏈

前言

上一篇分享了“模運算”相關的知識，并且計算了一些有限域的例子，這一篇我們討論在通用零知識證明中經常提到的橢圓曲線和雙線性配對。橢圓曲線作為雙線性對的基礎和前置知識，我們首先介紹一下其在實數域上的表現形式，然后通過計算的方法列出”F_101”和其擴域“F_101^2”上的全部元素的列表。

橢圓曲線相關知識---曲線方程

橢圓曲線的一般形式的方程其實比較復雜，稱為Weierstrass方程，形如下面的形式：

我們先將a,b,c,d,e隨意的取值為1,2,3,4,5，并通過畫圖來查看曲線在直角坐標系上的表現形式。根據二次方程求根公式，我們將其變換為x關于y的函數

徐明星新書《趣說金融史》正式發布 科普金融發展之道:金色財經現場報道，9月23日，歐科云鏈創始人徐明星攜手著名財經作家李霽月、行業觀察者顧澤輝力作《趣說金融史》一書，跨越5000年金融歷史，重讀金錢故事，并預測新的金融時代。該書由中信出版社出版，將于近期正式發售。據了解，本書可以更好地呈現金融的起源與發展，幫助人們理解貨幣、金融與未來經濟。作為區塊鏈行業領軍企業——歐科云鏈的創始人，徐明星深知技術探索對經濟社會的重要推動作用，他曾先后出版過《圖說區塊鏈》、《區塊鏈：重塑經濟與世界》、《通證經濟》、《鏈與未來》等行業權威著作，解讀區塊鏈等新型技術的推動下，金融與社會的升級之道，對經濟社會發展做出了重大貢獻。其中，《區塊鏈：重塑經濟與世界》曾作為新中國70周年重點推薦圖書之一被相關書店推薦。[2021/9/23 17:00:57]

國務院：推進科普與區塊鏈技術深度融合:為貫徹落實黨中央、國務院關于科普和科學素質建設的重要部署，依據《中華人民共和國科學技術進步法》、《中華人民共和國科學技術普及法》制定《全民科學素質行動規劃綱要（2021－2035年）》，其中要求實施智慧科普建設工程。推進科普與區塊鏈等技術深度融合，強化需求感知、用戶分層、情景應用理念，推動傳播方式、組織動員、運營服務等創新升級，加強“科普中國”建設，強化科普信息落地應用，與智慧教育、智慧城市、智慧社區等深度融合。（新華社）[2021/7/10 0:40:52]

根據方程作圖如下：

根據上面的方程和作圖過程了解道，曲線由上下兩個半支組成，關于y=0.5對稱。

對稱的總是美的，但是這個曲線卻有一點瑕疵，他的對稱軸并不是x軸而是y=0.5。考慮到Weierstrass太過復雜，人們更經常使用的是在Weierstrass方程的基礎上進行一些坐標變換和參數化簡后的形式。新的形式關于x軸對稱。

人大附中物理老師李永樂科普拜占庭將軍問題和區塊鏈:5月14日，人大附中物理老師、科普視頻網紅李永樂在其公眾號發布視頻《拜占庭將軍問題是什么？區塊鏈如何防范惡意節點？》。李永樂老師在視頻中對拜占庭將軍問題和區塊鏈進行了講解，他表示，拜占庭將軍問題本質上指的是，在分布式計算機網絡中，如果存在故障和惡意節點，是否能夠保持正常節點的網絡一致性問題。在近40年的時間里，人們提出了許多方案解決這一問題，稱為拜占庭容錯法。例如蘭波特自己提出了口頭協議、書面協議法，后來有人提出了實用拜占庭容錯PBFT算法，在2008年，中本聰發明比特幣后，人們又設想了通過區塊鏈的方法解決這一問題。區塊鏈通過算力證明來保持賬本的一致性，也就是必須計算數學題，才能得到記賬的權力，其他人對這個記賬結果進行驗證，如果是對的，就認可你的結果。與拜占庭問題比起來，就增加了叛徒的成本。[2020/5/14]

聲音 | 浪潮集團云南分公司總經理：云南區塊鏈產業發展需從“科普”到“專精”不斷深化:據昆明日報消息，浪潮集團云南分公司總經理鄭昕表示，云南區塊鏈產業發展需從“科普”到“專精”不斷深化。下一步，浪潮將繼續加大云南農業產業高質量發展體系建設力度，重點以普洱茶等云南優勢產業為切入點，打造云南“綠色、有機農產品高地”的品牌形象，并在此基礎上，開展基于區塊鏈的供應鏈金融服務，解決中小企業貸款難、貸款貴問題。[2019/11/11]

當取a=0，b=3時，畫出曲線如下圖，容易驗證是曲線上一點，對稱的也是。

通過方程我們畫出了曲線y^2=x^3+3的圖像，但是說這就是橢圓曲線的圖像其實并不準確。準確地說，我們畫的是在實數域上這個方程的圖像。在復數域上當然有更多的點也滿足曲線方程但是我們的圖像中并沒有體現，例如。如果把曲線看作點的集合，那數域的擴張直接影響到我們要討論的這個集合的大小，這在本文后半部分我們還會看到。

中科院自動化研究所將面向大中小學生開展區塊鏈等主題的科普講座:5月21日，新華網訊，今年，中國科學院自動化研究所將舉辦第十四屆“自動化之光”公眾科學開放日活動。屆時，自動化所將面向大中小學生分別開展《腦與智能》、《區塊鏈技術與平行智能》、《大數據時代的視覺智能》、《動畫真奇妙》等4個主題報告，用實例和生動的演示深入淺出地為大家揭示智能技術的原理和奧妙。[2018/5/21]

另外為了讓其擁有更多的性質，我們認為橢圓曲線其實還包括一個“無窮遠”點。這個點在圖中并不能體現出來，我們也不能以直角坐標的形式寫出這個點的坐標，但是當我們說橢圓曲線時默認其點的集合中包含這個點。“無窮遠點”一般用"O?"表示。

橢圓曲線相關知識---點的運算

就像討論“F_7”時那樣，有了元素的集合還需要有在集合上的運算。這條曲線就是橢圓曲線點的集合，但是為了構建密碼算法還需要定義點的運算。不同于域中需要兩種基本運算，這里我們只需要定義一種特殊的基本運算就可以，不妨將這種運算稱作加法，用“+”表示。

通過幾何意義可以清楚的理解這種運算的定義，例如我們選取了曲線上的兩個點A和B計算加法，把A+B的結果記為C，過程如下：

1）過AB做直線，交曲線于T；

2）過T做x軸垂線，交曲線于C點，C即為所求；

需要說明的是，當兩個“加數”位置的點為同一個點時，步驟一中所做的其實是過該點的切線。另外，當AB的連線本身就垂直于x軸時，我們規定AB和曲線的第三個交點是無窮遠點“O”。

在這樣的規則下容易發現，任何點P都有一個對應的P’,使得P+P’=O；并且任何點A和O的運算的結果都是A本身。而且因為連線AB和連線BA其實是同一條直線，因此我們也能夠得知這里定義的點的加法是滿足交換率的。

根據定義再結合一些解析幾何的知識，就可以求出點加法的坐標計算公式。例如假設A和B的坐標分別為(Xa,Yb)和(Xa,Yb),那么C點坐標如下：

其中"λ"是直線AB連線的斜率，或者當A、B重合時是A點的切線斜率。

現在我們將轉而討論有限域上的橢圓曲線，其上的橢圓曲線表現為一些散布的點。在有限域上A+B雖然已經沒有明確的幾何意義，但是有同樣的計算公式。我們已經驗證過是橢圓曲線上的點，那么我們就把該點記為G，并且從該點開始，計算G,G+G，G+G+G...看看會有怎樣的規律。

以G+G為例，我們進行演算,首先計算λ，也就是G點的斜率：

然后計算C點坐標：

因此G+G的坐標為。而G+2G稍稍有不同，主要是λ需要從切線斜率修改為過AB的直線斜率：

因此我們也計算出G+2G=3G的坐標，以此類推進行計算，我們得到下表

讀者可以選擇表中的點，例如(32,42)，來驗證其是否在曲線上，也就是是否滿足曲線方程y^2=x^3+3mod101，相關演算我們不在本文贅述。

經過計算和驗證可以發現，這一系列點構成了一個周期為17的循環。如果我們將k個G相加記為kG，并且將O看作0G，那么有17G=O。這像極了模17加法的規律，并且在模17加法和為0的兩個數對應的兩個橢圓曲線點的和正好是O，我們說這樣的17個點和加法一起構成一個有17個元素的循環群。因為這只是一篇科普性質的文章，我們不給出循環群的嚴格定義，但是正如它的名字中強調的“循環”，循環群最突出的性質就是能夠由某個元素不斷運算從而得到全部。

需要強調的是這17個點并不是F_101上橢圓曲線的全部，但僅利用這17個元素組成的集合我們已經能夠在其中完成點的加法運算，也就是說任意選擇集合中兩個點進行加法，其結果不會跳出到集合之外。

在本篇最后，我們展示17個點在直角坐標系中的分布，讀者可以體會其中的對稱之美。下一篇我們將找到另一個17個元素的循環群并且在其基礎上計算雙線性映射，敬請期待。

附錄

▲表2：模101元素逆元表

喬沛楊

趣鏈科技基礎平臺區塊鏈底層密碼學小組

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