數字簽名：基于橢圓曲線的簽名方案_數字貨幣

在數字時代中，數字化文檔的認證性、完整性和不可否認性，是實現信息化安全的基本要求。數字簽名則是滿足上述要求的主要方式之一，亦是現代密碼學的研究內容之一。

數字簽名有哪些形式？基于密碼學的數字簽名優勢幾何？有哪些常用的數字簽名實現方案？使用過程中又潛藏何等風險？我們將先從理解概念為始，再為大家逐步深入介紹。

區塊鏈百科No.34：基于橢圓曲線簽名方案

隨著計算機信息處理能力的不斷提高，對密鑰長度的要求也越來越高，這個問題對于存儲能力受限的系統來說顯得尤為突出。

橢圓曲線密碼體制（ECC）的提出改變了這種狀況，它可以用更短的密鑰提供與其他體制相當的或者更高級的安全，并已成為迄今被實踐證明安全、有效、應用較廣的3種公鑰密碼體制之一。本文將繼續為大家介紹基于橢圓曲線的數字簽名方案。

數字藏品周指數上漲至165.9點:金色財經報道，據同伴客數據顯示，上周（2022年6月13日-6月19日）國際周指數上漲3.65點至27.5點，國內周指數大幅回升152.0點至373.7點，數字藏品綜合價值周指數則上升63.0點至165.9點。

備注：數字藏品綜合價值指數是對國際及國內當月市場熱度最高的數字藝術品項目市場總銷售規模的綜合反映，以2021年11月份銷售額的30分之7為基數，指數基值為100。該指數由同伴客數據與鏈境Labs聯合研發。[2022/6/20 4:40:49]

橢圓曲線在代數學和幾何學上，已被廣范研究了150年之久，有堅實的理論基礎。

所謂橢圓曲線是指維爾斯特斯拉（Weierstrass）方程：

中信證券：數字人民幣應用持續推進，相關產業鏈有望持續受益:3月14日消息，中信證券研報指出，數字人民幣作為數字經濟時代的支付基礎設施，推廣大勢所趨。基于數字人民幣特性，用戶支付習慣和移動支付市場格局或迎重塑機遇，各類廠商的積極參與有望為數字人民幣的推廣和應用帶來更多想象空間。數字人民幣具備跨境使用的技術條件，未來也有望由零售領域延伸至跨境支付領域，結合先發優勢強化人民幣的國際競爭力。研報稱，伴隨數字人民幣應用持續推進，相關產業鏈有望持續受益，建議關注硬錢包制造、收款設備受理終端配套改造、商業銀行系統建設、安全保障技術相關服務商。（財聯社）[2022/3/14 13:54:56]

所確定的平面曲線，其中a、b、c、d、e屬于域F，其可以是有理數域Q、復數域C，還可以是有限域GF（p）。

橢圓曲線是其上所有點（x、y）的集合，外加一個無窮遠點O（定義橢圓曲線上一個特殊的點，記為O，它為仿射平面無窮遠的點，稱為無窮遠點。在xOy平面上，可以看做平行于y軸的所有直線的集合的一種抽象）。

美聯儲羅森格倫：央行數字貨幣已經引起國會極大興趣:美聯儲羅森格倫表示，央行數字貨幣已經引起了國會的極大興趣。美聯儲定于7月初發布的一項研究將表明，（我們）有可以安全創建央行數字貨幣的技術。數字貨幣對沒有銀行賬戶的人來說是有利的。（金十）[2021/6/24 0:01:51]

密碼學中普遍采用的是有限域上的橢圓曲線，它是指橢圓曲線方程定義式中，所有的系數都是在某一有限域GF（p）中的元素。它最簡單的公式為：

該橢圓曲線上只有有限個離散點，設為N，則N稱為橢圓曲線的階為N。N越大，安全性越高。基于此，橢圓曲線的圖示可以表示如下：

數字貨幣概念股表現突出 投資者熱情不因規勸而減緩:4月20日午后，數字貨幣概念股股價表現突出，這也再度引發了投資者對于這類概念股的關注度。投資者互動平臺上演“恨公司不數字貨幣”的現象。經查詢，在深交所互動平臺，以“數字貨幣”為關鍵詞，在最近一周的時間里，搜查結果超過400條。從內容上看，投資者提問簡單粗暴“是否涉及數字貨幣”，也有投資者向企業平臺“安利”數字貨幣。對此，不少上市公司紛紛否認，甚至進行專門澄清。但從市場表現來看，投資者的熱情并未因各種“規勸”而有所減緩。（證券日報）[2020/4/21]

當然，基于不同變量值，橢圓曲線還有其他的表示形式：

當我們仔細觀察這些曲線時，能發現一些有趣特性：（1）對稱性，即曲線上的任何一點都可以在x軸上反射，并保持曲線不變；（2）任何非垂直直線與曲線的交點至多有三個。

動態 | 市值前百的數字貨幣中58漲42跌:據非小號數據顯示，市值前百的數字貨幣中58漲42跌。其中市值排名前十主流幣BTC 24h漲幅1.71%居首位。前百幣種漲幅前五排名如下：MKR 24h上漲97.4%，現報640.96美元。ATOM 24h上漲23.39%，現報3.13美元。ALON24h上漲17.51%，現報0.0084美元。NEW 24h上漲12.16%，現報0.0033美元。RDD 24h上漲9.66%，現報0.0014美元。[2019/9/13]

我們可以把這條曲線想象成一場桌球游戲。在曲線上取任意兩點并通過它們畫一條直線，它將與曲線相交于另一個位置。在這個桌球游戲中，你在A點拿一個球，把它射向B點，當它擊中曲線時，球要么直接向上反彈(如果它在x軸以下)，要么直接向下反彈(如果它在x軸以上)到曲線的另一邊。我們可以把球看做在兩個點間移動，曲線上的任意兩點碰撞可得到一個新的點。

A·B = C

或者可以用某一個點自身不斷碰撞出新的點。

A·A = B

A·C = D

……

在這個過程中，一個初始點經由n次運算會得到最后到達的點，當你只知道這兩個點的值，要找出n是很難的。

這就像一個人在房間里隨機玩一段時間桌球游戲，對他而言，按照上面描述的規則一遍又一遍地擊球是很容易的。但如果有人走進房間，球剛好結束到達一個點，即使他知道所有的游戲規則，以及球從哪個點開始，也不能確定球到達此處所被擊中的次數。容易正向計算，難以反向計算，這也是陷門函數的基礎。

1985年，Koblitz和Miller將橢圓曲線引入密碼學，提出了基于有限域GF（p）的橢圓曲線上的點集構成群，在這個群上定義離散對數難題并構造出基于其的一類公鑰密碼體制，即基于橢圓曲線的離散密碼體制，其安全性基于橢圓曲線上離散對數問題的難解性。

我們以基于橢圓曲線的ECDSA數字簽名實現方案為例，闡述其具體的實現過程。

密鑰生成算法

假設GF（p）為有限域，E是有限域GF（p）上的橢圓曲線。選擇E上一點G∈E，G的階為滿足安全要求的素數n，即nG=O（O為無窮遠點）。

選擇一個隨機數d，d∈[1，n-1]，計算Q，使得Q=dG。那么公鑰為（n，Q），私鑰為d。

簽名算法

假設待簽名的消息為m，經過如下計算過程，簽名者對消息m的數字簽名為（r，s）。

驗證算法

簽名接收者B對消息m簽名（r，s）的驗證過程如下：

判斷r和r1的關系，如果相等，則簽名有效；否則，簽名無效。

除了上述介紹ECDSA方案之外，基于橢圓的數字簽名方案還有很多，而類似DSA的其他方案例如Schnorr、EIGamal等方案也都被移植到橢圓曲線有限群上。

從上述介紹可知，數字簽名的安全性依賴于基于橢圓曲線的有限群上的離散對數難題。

與前章所述RSA數字簽名和基于有限域離散對數的數字簽名相比，基于橢圓曲線的數字簽名方案具有如下特點：在相同的安全強度條件下，簽名長度短，密鑰存儲空間小，適用于存儲空間有限，帶寬受限、要求高速實現的場合。

此外，橢圓曲線資源豐富，同一有限域上存在著大量不同的橢圓曲線，這也為安全性增加了額外的保障。

正是由于橢圓曲線具有豐富的群結構和多選擇性，并可以在保持和RSA、EIGamal體制同樣安全性的前提下大大縮短密鑰長度，因而有著更為廣闊的應用場景。

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