ZKSwap團隊解讀零知識證明PLONK電路_LON

最近研究了下零知識證明算法-PLONK。肚子里的墨水又增加了，借此記錄學習成果與心得體會---ZkSwap小白。

現狀

近些年，各種新的零知識證明算法層出不出，各有各的特點，各有各的優勢。借用V神系列文章里的一張圖來簡單呈現下當前的零知識證明算法現狀。

從圖中可以簡單總結出以下幾點：

理論上安全性最高的是STARKs算法，不依賴數學難題假設，具有抗量子性；Proof大小上最小的是SNARKs算法，如Groth16;PLONK算法在安全性上和Proof大小上，位于上述兩者之間；其他的這里不做過多闡述，如想了解零知識證明更多信息，可參考鏈接；對于SNARKs算法，繞不開的一個點就是中心化的TrustSetup，也稱之為CRS(theCommonReferenceString)。而無論是PGHR13,Groth16,還是GM17算法，它們的CRS都是一次性的，不可更新的。即：不同的問題將對應著不同的CRS，這在某些場景下，會變得比較麻煩。這些存在的問題，變了PLONK，SONIC這類算法的一個優勢，它們算法雖然也需要中心化的可信設置，但是它的CRS具有一定的普適性。即：只要電路的大小不超過CRS的上限閾值，一些證明問題就可以共用一個CRS，這種CRS稱之為SRS(universalStructuredReferenceString)，關于SRS的定義，詳細的可參考SONIC協議里的第3小節。PLONK算法繼用了SONIC算法的SRS的思想，但是在證明的效率上，做了很大的提升。接下來，讓我們詳細的介紹下PLONK算法的具體細節，主要從下面四個小節去分享：

過去12小時全網爆倉1.39億美元:金色財經報道，數據顯示，過去12小時全網爆倉1.39億美元，其中，多單爆倉1.24億美元，空單爆倉1554萬美元。[2023/6/15 21:38:53]

電路的設計--描述PLONK算法的電路的描述思想；置換論證或者置換校驗--復制約束，證明電路中門之間的一致性；多項式承諾--高效的證明多項式等式的成立；PLONK協議--PLONK協議剖析；電路

PLONK算法電路的描述和SONIC算法一直，具體的過程可以參考李星大牛的分享，已經寫的比較詳細且易懂。在這個小篇幅里，我想主要分享下我自己的兩點想法：

無論是什么樣的電路描述方式，電路的滿足性問題都要歸結于2點，門的約束關系和門之間的約束關系成立；在SNARKs系列的算法里，電路的描述單元都是以電路中有效的線為基本單元，具體的原理可以參考我之前分享的文章，而在PLONK，SONIC以及HALO算法里，電路的描述單元都是以門為基本單元。這兩種電路的不同描述方式帶來了一定的思考。那就是，之前在研究SNARKs算法時，我們都已經相信一個事實，“多項式等式成立，就代表著每個門的約束成立”，然后推斷，整個電路邏輯都是成立；在這個過程中，并沒有額外的去證明門之間的一致性成立；但是在PLONK算法里，除了要證明多項式等式成立外，還要額外的用置換論證的數學方法去證明門之間的約束關系，即復制約束。為何會有這樣的區別？希望有心的讀者能一起在評論區探討這個問題？我個人理解是因為電路的描述方式的不同：

資管公司意博金融擬將旗下比特幣現貨基金以ETF形式在香港上市:6月2日消息，資產管理公司意博金融擬向香港證監會申領虛擬資產服務提供商（VASP）牌照，以及第 7 類（提供自動化交易服務）牌照，同時正與數家 ETF 發行方及證監會商討，計劃將旗下比特幣現貨基金以 ETF 形式在香港上市。[2023/6/2 11:54:34]

PLONK算法里，電路描述的單元是門，它為每個門定義了自己的L,R,O，因此需要證明門之間的一致性；SNARKs算法里，電路描述的單元是線，門與門之間的值用的是同一個witness，因此不用額外證明一致性；置換論證

前面我們說過，在PLONK算法里，需要去證明門之間的約束關系成立。在做具體的原理解釋之前，我們先簡單的過一下PLONK協議的過程，如下圖所示：

可描述為：

天橋資本、Al Maskari Holding將為區塊鏈公司Casper Labs提供戰略支持:3月2日消息，天橋資本（SkyBridge Capital）和Al Maskari家族的控股公司表示，將為專注于企業和政府的區塊鏈軟件公司Casper Labs提供戰略支持，包括業務開發、投資者關系和營銷服務。SkyBridge Capital正在購買認股權證，成為Casper Labs的股東。

此前消息，Casper Labs于2月底宣布擴大與Google Cloud的合作關系。（CoinDesk）[2023/3/2 12:39:17]

根據電路生成三個多項式，分別代表這電路的左輸入，右輸入，輸出；利用置換校驗協議，去證明復制約束關系成立；步驟3和4，校驗門的約束關系成立。其中第1點已經在電路小節里闡述過了，接下來，將詳細的講解多項式置換校驗的原理。先從簡單的場景去講解：

跨鏈保證金平臺Prime Protocol上線Arbitrum:金色財經報道，跨鏈保證金平臺Prime Protocol今天在Arbitrum上推出了其測試網，這將是第一家允許用戶從其整個賬戶中提取保證金的跨鏈經紀商。

Prime Protocol使用Axelar的消息傳遞技術來實現跨鏈交易。它還與Wormhole集成，從而使Prime Protocol與非基于以太坊的鏈建立連接。

Prime Protocol創始人Colton Conley表示，目前沒有代幣上線，但可能會在未來某個時候上線。一旦上線，它計劃運行激勵措施來引導流動性。[2023/2/3 11:44:35]

單個多項式的置換校驗

其實就是證明對于某個多項式f，存在不同的兩個點x,y，滿足f(x)=f(y)。下面來看具體的原理：

麻省理工學院教師Robert Pozen：無論比特幣發生什么，以太幣都會存在很長時間:金色財經消息，麻省理工學院教師Robert Pozen稱，無論比特幣發生什么，以太幣都會存在很長時間。(CNBC)[2022/6/23 1:27:02]

上圖中加入了一個正例P，一個反例A，方便大家理解置換校驗的原理。有幾點需要解釋的是：

而經過仔細剖析Z的形式，不難發現，Z(n+1)其實就是兩個函數所有值的乘積的比值(不知是否等同于V神文章里的坐標累加器？)。理論上是等于1。因此，我們需要設計這樣的一個多項式Z，需滿足：deg(Z)<nZ(n+1)=1

乘法循環群剛好可以滿足這個條件，如果設計一個階為n的一個乘法循環群H，根據群的性質可以知道Z(g)=Z(g^(n+1))。因此，在設計Z時，會保證Z(g)=1；上圖中的自變量的取值也將從{1...n}變成{g...g^n}。所以在上圖中驗證的部分，a其實已經換成了群H里的所有元素。根據論文中的協議，多項式Z是會發給可信第三方I驗證方V會從I處獲取到多項式Z在所有a處的取值，然后依次校驗。下面具體看一下論文中的定義：

從定義中可以看出：多項式f,g在范圍內具有相同的值的集合；下面看一下論文中具體的協議部分，結合上述解釋的3點：

說明：圖4中的f,g對應圖3中的f。即f,g是同一個多項式。其實只要是相同的值的集合，也可以不用于是同一個多項式。圖3是一個特例而已。

跨多項式的校驗

其實就是證明對于某個多項式f，g，存在兩個點x,y，滿足f(x)=g(y)。與存在兩處不同：

多個多項式；不強制x,y的關系，即也可以等，也可以不等；有了(1)小節的基礎，這次我們先看一下相關的定義：

從定義可以看到，這次是兩個多項式集合見的置換校驗算法。從標注的部分可以看出：

兩個多項式集合仍然具有相同的值的結合；為了區分集合里的多項式，自變量的索引得區分開來；因此，可以想象的到，如果存在兩個多項式f,g，想要證明f(x)=g(y)，那么根據以上描述可以判斷{f1,f2}={f,g}={g1,g2}。也保證了上述第1點的成立。

下面我們看一下具體的原理：

和(1)小節相比，證明方P增加了些工作量，驗證方V工作量不變。結合上述描述，也能很容易的理解其數學原理。

說明：至此，其實我們已經慢慢的接觸到PLONK算法的核心了，前面我們講到，電路的滿足性問題除了門的約束關系還有門之間的約束關系。

比如一個輸入x，它既是一個乘法門的左輸入，又是另外一個乘法門的右輸入，這就需要去證明L(m)=R(n)，這就是跨多項式的置換校驗。

下面再給出論文里的協議內容：

至此，本篇文章已經描述了，在PLONK算法里，電路的設計以及復制約束的成立驗證兩大部分，接下來，將會另起一片文章，去分享門約束的成立和整個協議的具體步驟。

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